Calcul littéral

1- Commutativité

Pour un opérateur donné, le sens avec lequel on effectue le calcul est sans importance.

Addition :

a + b = b + a

Multiplication :

a . b = b . a

Remarque :

La division et la soustraction ne sont pas des opération commutatives ;

en effet : a - b n'est pas égal à b - a de même, a / b n'est pas égal à b / a.

2- Associativité

Si une expression algébrique est constituée d'un même opérateur, alors l'ordre dans lequel on effectue le calcul est sans importance.

addition

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c

multiplication

a ( b . c ) = ( a . b ) c = a . b . c

3- Distributivité

Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :

a . ( b + c ) = a . b + a . c

( a + b ) . c = a . c + b . c

a . ( b - c ) = a . b - a . c

( a - b ) . c = a . c - b . c

Double distributivité

( a + b ) ( x + y ) = ax +ay + bx + by

4- Développement

Développer une expression algébrique :

Le développement s'effectue en trois phases :

1- développer : effectuer tous les calculs

2- réduire : regrouper les termes de même nature

3- ordonner : classer les termes suivant les puissances décroissantes (ou croissantes) de l'inconnue

Exemple :

A(x) = (2x + 3)(1 - x)

1- développer :

A(x) = 2x + 3 -2x² -3x

2- réduire :

A(x) = -x + 3 - 2x²

3- ordonner :

A(x) = -2x² - x +3 ; ordre croissant des puissances de x

A(x) = 3 -x -2x² ; ordre décroissant des puissances de x

5- Factorisation

Il s'agit de transformer une expression algébrique afin de la mettre sous la forme d'un produit de plusieurs facteurs

méthodologie :

- on peut mettre en évidence un terme commun

- on utilise les identités remarquables

- on développe et on essaie de trouver une factorisation

- un mélange de toutes ces méthodes ...

- il n'y a pas de factorisation

exemple :

A(x) = (2x+1)²-(x+3)(2x+1) ; le terme commun est (2x+1) que l'on met en facteur

A(x) = (2x+1)[(2x+1)-(x+3)] ; attention au signe moins avec les parenthèses !

A(x) = (2x+1)(2x+1-x-3)

A(x) = (2x+1)(x-2) ; c'est l'expression factorisée.

6- Identités remarquables

ce sont des résultats à connaitre par coeur ...

( a + b )² = a² + 2 a.b + b²

( a - b )² = a² - 2 a.b + b²

( a - b ).(a + b) = a² - b²

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