Droites remarquables du triangle : la MÉDIANE

C

B

A

A'

B'

C'

G

Définition

Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet
et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriétés

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.

Le point d'intersection des médianes d'un triangle est
le centre de gravité du triangle.

Propriétés

Si une droite passe par le centre de gravité d'un triangle et un sommet de ce triangle alors c'est une médiane.
Cette droite coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu.

Si une droite passe par le centre de gravité et le milieu d'un côté d'un triangle alors c'est une médiane.
Cette droite passe par le sommet opposé à ce côté.

Le centre de gravité d'un triangle se situe au 2/3 de la médiane en partant du côté
et au 1/3 de la médiane en partant du sommet. AG = 2/3 AA' ou A'G = 1/3 A'A.

Remarque

La médiane est indifféremment la droite (AA') ou le segment [AA'].

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O

Droites remarquables du triangle : la MÉDIATRICE

A

B

C

A'

B'

C'

Définition

La médiatrice d'un coté d'un triangle est une droite
perpendiculaire à ce côté passant par son milieu.

Propriétés

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.

Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle
est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Propriétés

Si une droite passe par le centre du cercle circonscrit d'un triangle et est perpendiculaire à un côté de ce triangle
alors c'est la médiatrice de ce côté.

Si une droite passe par le centre du cercle circonscrit d'un triangle et par le milieu d'un côté de ce triangle
alors c'est la médiatrice de ce côté.

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Droites remarquables du triangle : la HAUTEUR

A'

B

A

C

B'

C'

H

Définition

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet
perpendiculairement au côté opposé.

Propriétés

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Le point d'intersection des hauteurs d'un triangle est
l'orthocentre du triangle.

Propriétés

Si une droite passe par l'orthocentre d'un triangle et un sommet de ce triangle alors c'est une hauteur.
Cette droite est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Si une droite passe par l'orthocentre et est perpendiculaire à un côté d'un triangle alors c'est une hauteur.
Cette droite passe par le sommet opposé à ce côté.

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Droites remarquables du triangle : la BISSECTRICE

C

B

A

I

M

M2

M1

Définition

La bissectrice d'un angle est une droite passant par le sommet
de l'angle et le partageant en deux parties de mesures égales.

Propriétés

Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes.

Le point d'intersection des bissectrices d'un triangle est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

Si une droite passe par le centre du cercle inscrit d'un triangle et un sommet de ce triangle
alors c'est une bissectrice.

Si un point est sur la bissectrice d'un angle alors il est à égale distance des cotés de l'angle : MM1 = MM2.

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Droites remarquables du triangle

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Droites remarquables du triangle : Triangles particuliers

Triangle Isocèle

Si un triangle est isocèle alors la hauteur issue du sommet principal
est aussi médiane, médiatrice et bissectrice.

Triangle équilatéral

Si un triangle est équilatéral alors les hauteurs, les médianes,
les médiatrices et les bissectrices sont confondues.

Triangle rectangle

Si un triangle est rectangle alors les hauteurs issues
des sommets autres que l'angle droit sont confondues
avec les côtés du triangle.

Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit
est le milieu de l'hypoténuse.

La longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale
à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

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Abel SEGOUAT

2005-04-24T18:11:26